Zahnräder und Übersetzung: Drehzahl gegen Kraft tauschen

Was eine Übersetzung macht

Greifen zwei Zahnräder ineinander, bewegen sich ihre Zähne am Berührpunkt gleich schnell. Das kleinere Rad muss sich deshalb öfter drehen als das große. LEIFIphysik, das Physikportal des FWU Instituts für Film und Bild, rechnet das an einem Beispiel vor: Ein Rad mit 25 Zentimetern Durchmesser dreht sich zehnmal pro Sekunde, das eingreifende Rad mit 50 Zentimetern nur fünfmal. Drehzahl und Durchmesser verhalten sich umgekehrt zueinander.

Mit der Kraft ist es genau andersherum. Am Umfang beider Räder wirkt dieselbe Kraft. Weil das Drehmoment Kraft mal Radius ist, liefert das große Rad bei doppeltem Radius das doppelte Drehmoment – im LEIFI-Beispiel 2,0 statt 1,0 Kilonewtonmeter. Das ist die goldene Regel der Mechanik aus dem Artikel über einfache Maschinen, nur als Drehbewegung: Was du an Drehzahl hergibst, bekommst du als Drehmoment zurück, und umgekehrt.

Zahnräder gibt man meist nicht mit ihrem Durchmesser an, sondern mit der Zahl ihrer Zähne. Nach LEIFIphysik ist die Zähnezahl proportional zum Radius. Du kannst also direkt mit Zähnen rechnen, wenn alle Räder dieselbe Zahngröße haben.

Das Übersetzungsverhältnis ausrechnen

LEIFIphysik erklärt die Rechnung an der Fahrradschaltung. Das Kettenblatt an der Kurbel hat z1 Zähne, das Ritzel am Hinterrad z2 Zähne. Dann gilt: z1 geteilt durch z2 ist gleich n2 geteilt durch n1, wobei n die Zahl der Umdrehungen ist. Das Verhältnis z2 zu z1 heißt Übersetzung – also Zähne am angetriebenen Rad zu Zähnen am antreibenden Rad.

Ein Beispiel, selbst gerechnet mit dieser Formel: Kettenblatt 36 Zähne, Ritzel 18 Zähne. Die Übersetzung ist 18 zu 36, also 1 zu 2. Bei jeder Kurbelumdrehung dreht sich das Hinterrad zweimal. Hat das Hinterrad 2 Meter Umfang, fährst du mit einer Kurbelumdrehung 4 Meter weit – genau diesen Wert nennt auch die Tabelle bei LEIFIphysik. Mit einem 36er Ritzel wäre die Übersetzung 1 zu 1: halb so weit pro Kurbelumdrehung, aber leichter zu treten.

Für das Rechnen ohne Taschenrechner reicht der Dreisatz aus dem Artikel über Rechnen ohne Rechner. Hintereinander geschaltete Stufen multiplizierst du: Zwei Stufen mit je 1 zu 3 ergeben 1 zu 9. Auch das ist eine eigene Folgerung aus der Formel, keine Angabe der Quelle.

Kurbel, Mühle, Pumpe: Übersetzung von Hand

Eine Handkurbel ist selbst ein Hebel. Das Drehmoment an der Welle ist deine Kraft mal dem Kurbelradius, so wie LEIFIphysik das Drehmoment als Kraft mal Radius berechnet. Eine längere Kurbel bringt also mehr Drehmoment bei gleicher Kraft, dafür wird der Kreis, den deine Hand beschreibt, größer.

Soll eine Mahlscheibe oder ein Schleifstein schneller laufen, als du kurbeln kannst, übersetzt du ins Schnelle. Selbst gerechnet: Ein Kurbelrad mit 60 Zähnen treibt ein Ritzel mit 15 Zähnen. Die Übersetzung ist 1 zu 4, das Ritzel dreht viermal pro Kurbelumdrehung. Das Drehmoment dort ist aber ohne Reibung nur ein Viertel dessen, was du an der Kurbel aufbringst. Wird es zu schwer, hilft keine weitere Stufe ins Schnelle, sondern eine längere Kurbel oder weniger Mahlgut auf einmal.

Umgekehrt beim Heben: Ein kleines Ritzel an der Kurbel, ein großes Rad an der Seiltrommel – so arbeiten Winden. Du kurbelst viele Male, die Last steigt langsam, aber du hältst sie mit wenig Kraft. Wie Getreide gemahlen wird, steht im Artikel über Dreschen und Mahlen.

Riemen und Seil: die einfache Alternative

Zahnräder sauber herzustellen, ist schwer. Einfacher ist ein Riemen über zwei Scheiben. Nach dem Lehrbuch Roloff/Matek Maschinenelemente überträgt ein Flachriemen die Kraft rein durch Reibung zwischen Riemen und Scheibe. Seine Vorteile gegenüber Zahnrad und Kette: Er läuft leise, dämpft Stöße, ist einfach und billig gebaut, überbrückt größere Abstände zwischen den Wellen und braucht keine Schmierung.

Gerechnet wird wie beim Zahnrad, nur mit dem Durchmesser der Scheiben statt der Zähne – der Riemen läuft über beide Scheiben gleich schnell. Selbst gerechnet: Eine Scheibe mit 40 Zentimetern treibt eine mit 10 Zentimetern, die kleine dreht sich viermal so oft. Ganz genau stimmt das nicht. Der Riemen dehnt sich unter Last, und nach Roloff/Matek lässt dieser Schlupf keine konstante Übersetzung zu. Staub, Öl und Feuchtigkeit verändern die Reibung, und die Wellen werden stärker belastet, weil der Riemen gespannt sein muss.

Für eine Mühle, eine Pumpe oder einen Schleifstein spielt ein wenig Schlupf keine Rolle. Er hat sogar einen Vorteil, den das Lehrbuch nicht eigens nennt: Blockiert die Arbeitsmaschine, rutscht der Riemen durch, statt dass Zähne brechen. Das ist eine eigene Folgerung aus dem Reibschluss. Ein Seil in einer Rille arbeitet nach demselben Prinzip.

Riemenscheiben aus Holz selbst bauen

Die folgende Anleitung ist ein Bauvorschlag aus der Werkstattpraxis, keine geprüfte Norm. Maße stehen hier nur als Rechenbeispiel. Wie du Holz ohne Maschinen bearbeitest, steht im Artikel über Holzbearbeitung.

• Übersetzung festlegen: Wie oft soll sich die Arbeitswelle pro Antriebsumdrehung drehen? Daraus folgt das Verhältnis der Durchmesser.
• Scheiben aus mehreren Brettlagen kreuzweise verleimen oder verschrauben. So reißt die Scheibe weniger leicht entlang der Faser.
• Die Mitte genau anreißen und die Scheibe möglichst rund schneiden. Eine unrunde Scheibe lässt den Riemen flattern.
• Die Scheibe fest mit der Welle verbinden, etwa mit Keil oder Stift, damit sie nicht auf der Welle durchrutscht.
• Beide Wellen parallel ausrichten. Läuft der Riemen schräg, wandert er von der Scheibe.
• Riemen aus Leder, Gurtband oder einem alten Riemen endlos verbinden und so spannen, dass er unter Last nicht dauernd rutscht.
• Erst langsam und ohne Last probelaufen lassen, dann Last zugeben.

Holzgetriebe in alten Mühlen

Wie weit man mit Holz kommt, zeigen die Mühlen. Das Fränkische Freilandmuseum Bad Windsheim beschreibt das Wasserrad als Antriebsmaschine der Mühle: Ein Übersetzungsmechanismus mit Getriebe gibt die Kraft der Drehung an das Mahlwerk weiter. Die dortige Mühle zeigt eine Ausstattung aus Wellbaum, Kammrad, Stockgetriebe und Mühleisen, die schon im 16. und 17. Jahrhundert nachweisbar und bis ins 19. Jahrhundert allgemein üblich war.

Das Kammrad trägt seitlich kleine viereckige Kämme als Zähne. Es übersetzt in einem Winkel die liegende Drehung der Radwelle in die stehende des Mühleisens und macht dabei aus der langsamen Bewegung des Wasserrades die schnelle des Mahlgangs. Die Kämme greifen in das Stockgetriebe, durch das das Mühleisen zum Läuferstein führt.

Gebaut und instand gehalten haben solche Anlagen früher die Müller selbst. Nach dem Museum konnte der Müller Getriebe mit ihren Zahnrädern berechnen – genau die Rechnung aus diesem Artikel.

Reibung, Verschleiß und Schmierung

Jede Übersetzung kostet etwas. Zahnflanken gleiten aufeinander, Lager reiben, Riemen dehnen sich. Die Rechnungen oben gelten deshalb nur ohne Reibung, in der Praxis musst du etwas mehr Kraft aufbringen. Wie ein Lager mit Buchse und Fett leicht läuft, steht im Artikel über Rad und Achse.

Bei Ketten kommt ein Fehler oft vor: Läuft die Kette nach LEIFIphysik schräg, etwa vorn auf dem kleinsten Kettenblatt und hinten auf dem kleinsten Ritzel, nutzen sich Zahnräder und Kette auf Dauer stark ab. Welches Öl eine Fahrradkette braucht, steht im Artikel über das Fahrrad. Riemen dagegen hältst du trocken und sauber, denn Öl verändert ihre Reibung.

Wie historische Holzgetriebe geschmiert wurden, sagen die hier genutzten Quellen nicht. Wer ein Holzgetriebe baut, prüft deshalb regelmäßig, ob Zähne ausbrechen, Lager warm werden oder sich Spiel einstellt. In der mechanischen Uhr arbeitet dasselbe Prinzip im Kleinen, mehr dazu im Artikel über Pendel und Hemmung.