Rechnen ohne Rechner: Überschlag, Dreisatz, Rechenschieber

Warum Rechnen zur Vorsorge gehört

Vorsorge ist zu einem großen Teil Rechnen: Mengen je Person und Tag, Vorräte für eine bestimmte Zahl von Tagen, Flächen im Garten, Volumen von Tonnen und Stapeln. Solange der Taschenrechner im Handy funktioniert, fällt das kaum auf. Fehlt er dauerhaft, entscheidet die eigene Rechenfertigkeit darüber, ob ein Vorrat richtig eingeteilt wird.

Die gute Nachricht: Alles in diesem Artikel ist Grundschul- und Mittelstufenstoff. Die Mathematikdidaktik der TU Dortmund betont, dass Kinder flexibel rechnen lernen sollen – je nach Aufgabe im Kopf, halbschriftlich oder schriftlich. Wie du Kindern das beibringst, beschreibt der Artikel „Kinder unterrichten ohne Schule“.

Überschlagen und runden

Bevor du genau rechnest, schätze das Ergebnis mit gerundeten Zahlen. Ein Beispiel mit der Mengengrundlage dieser Seite: 2 Liter Trinkwasser je Person und Tag, 10 Tage, 4 Personen. 2 mal 10 mal 4 ergibt 80 Liter.

Schwieriger wird es mit krummen Zahlen. Brauchst du 21 Packungen zu je 3,8 Kilogramm, rechnest du überschlägig 4 mal 20, also etwa 80. Das genaue Ergebnis, 79,8, liegt nahe dabei. Kommt beim genauen Rechnen 798 oder 7,98 heraus, zeigt der Überschlag sofort, dass ein Komma verrutscht ist.

Manchmal ist der Überschlag sogar der bessere Weg. Die TU Dortmund nennt als Beispiel die Aufgabe 396 geteilt durch 4: Schriftlich braucht sie viele fehleranfällige Schritte, über die Hilfsaufgabe 400 geteilt durch 4 ist sie schnell im Kopf gelöst. 400 durch 4 ist 100, und weil 396 genau 4 weniger ist als 400, ziehst du 1 ab: 99.

Schriftlich rechnen: Schritt für Schritt

Beim schriftlichen Rechnen werden Zahlen nach einem festen Ablauf verrechnet. Nach den Unterlagen der TU Dortmund nutzt man dabei aus, dass sich jede Zahl in ihre Stellenwerte zerlegen lässt – Einer, Zehner, Hunderter. Diese werden Ziffer für Ziffer verrechnet, sodass fast nur Rechnungen mit einstelligen Zahlen übrig bleiben.

Bei der Addition schreibst du die Zahlen so untereinander, dass Einer unter Einern und Zehner unter Zehnern stehen. Du rechnest von rechts nach links; wird eine Stelle zweistellig, schreibst du die Einerziffer hin und nimmst die Zehnerziffer als Übertrag in die nächste Stelle mit.

Bei der Multiplikation, etwa 14 mal 13, wird jede Ziffer des zweiten Faktors mit dem ganzen ersten Faktor multipliziert. Die 1 Zehner mal 14 ergibt 140, die 3 Einer mal 14 ergeben 42 – dabei rechnest du 3 mal 4 gleich 12, schreibst 2 und behältst 1 im Sinn, dann 3 mal 1 plus 1 gleich 4. Die Teilergebnisse stehen stellengerecht untereinander und werden addiert: 140 plus 42 gleich 182.

Bei der Division, etwa 624 geteilt durch 4, beginnst du bei der größten Stelle. Die 4 passt einmal in die 6, Rest 2. Die nächste Ziffer holst du herunter: 22 Zehner, die 4 passt fünfmal, Rest 2. Wieder herunterholen: 24, die 4 passt sechsmal, Rest 0. Das Ergebnis ist 156.

Dreisatz und Prozent

Viele Vorsorgefragen sind proportionale Zuordnungen: doppelte Menge, doppelter Bedarf. Der Landesbildungsserver Baden-Württemberg beschreibt die Regel „je mehr, desto mehr“: Zum Vielfachen der einen Größe gehört das gleiche Vielfache der anderen, zu einem Bruchteil der gleiche Bruchteil. Sein Beispiel: Kosten 10 Liter 15 Euro, kostet 1 Liter ein Zehntel davon, also 1,50 Euro.

Der Dreisatz nutzt das in drei Schritten. Ein Beispiel mit angenommenen Werten: Reichen 4 Kilogramm Mehl 10 Tage, wie viel brauchst du für 25 Tage? Erstens aufschreiben: 10 Tage – 4 Kilogramm. Zweitens auf einen Tag herunterrechnen: 4 geteilt durch 10 ergibt 0,4 Kilogramm. Drittens hochrechnen: 0,4 mal 25 ergibt 10 Kilogramm.

Umgekehrt verhält es sich, wenn ein fester Vorrat auf mehr Menschen verteilt wird: Je mehr Esser, desto weniger Tage. Hier multiplizierst du im zweiten Schritt, statt zu teilen. Reicht ein Vorrat 2 Personen 12 Tage, reicht er einer Person 24 Tage und 3 Personen 24 geteilt durch 3, also 8 Tage.

Prozent heißt Hundertstel. Der Landesbildungsserver erklärt, dass das Prozentzeichen für die Multiplikation mit 1/100 steht; 20 Prozent von 125 sind also ein Fünftel von 125, das ist 25. Praktisch sind Faktoren: Mal 1,05 heißt plus 5 Prozent, mal 0,85 heißt minus 15 Prozent. Willst du auf 80 Liter Wasser 25 Prozent Reserve aufschlagen, rechnest du 80 mal 1,25 und kommst auf 100 Liter.

Flächen, Volumen und Einheiten

Eine rechteckige Fläche ist Länge mal Breite. Ein Beet von 5 Metern Länge und 1,2 Metern Breite hat 6 Quadratmeter. Wie viele Pflanzen hineinpassen, ergibt sich aus Reihen- und Pflanzabstand, die auf der Samentüte stehen. Mit Beispielwerten von 30 Zentimetern Reihenabstand und 25 Zentimetern in der Reihe passen 4 Reihen zu je 20 Pflanzen ins Beet, also 80 Pflanzen.

Ein Quader hat das Volumen Länge mal Breite mal Höhe. Ein Raummeter oder Ster Brennholz ist ein Kubikmeter geschichtetes Holz mit Hohlräumen, erklärt der Artikel „Brennholz: trocknen, spalten, Brennwert richtig einschätzen“. Ein Stapel von 3 Metern Länge, 1,5 Metern Höhe und einer Reihe 33 Zentimeter langer Scheite ergibt 3 mal 1,5 mal 0,33, also knapp 1,5 Raummeter.

Eine runde Regentonne ist ein Zylinder: Grundfläche mal Höhe, die Grundfläche ist Radius mal Radius mal Pi, gerundet 3,14. Rechne in Dezimetern, dann kommt das Ergebnis direkt in Litern heraus. Eine Tonne mit 6 Dezimetern Durchmesser, also 3 Dezimetern Radius, und 9 Dezimetern Höhe fasst 3,14 mal 3 mal 3 mal 9, rund 254 Liter.

Der Rechenschieber: Multiplizieren durch Strecken

Multiplizieren und Teilen ist mühsam, Addieren und Subtrahieren leicht. Die Universität Bonn beschreibt die Geschichte, deren Stücke ihr Arithmeum sammelt: Eine Idee, die Michael Stifel 1544 äußerte, griff John Napier 70 Jahre später auf und prägte den Begriff „Logarithmus“. Mit Logarithmen wird aus einer Multiplikation eine Addition: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Kurz darauf stellte der britische Gelehrte Edmund Gunter ein Holzlineal mit logarithmischer Skala vor. Mit einem Stechzirkel ließen sich Strecken abgreifen und addieren – und damit multiplizieren. Um 1630 hatte William Oughtred die Idee, zwei solche Lineale gegeneinander zu verschieben. Der Zirkel wurde überflüssig, und daraus entwickelte sich der Rechenschieber mit beweglicher Zunge, bis zum Taschenrechner ein alltägliches Werkzeug.

Auf einer logarithmischen Skala stehen die Zahlen nicht in gleichen Abständen. Von 1 bis 2 ist der Weg lang, von 9 bis 10 kurz. Der Abstand von der 1 bis zu einer Zahl entspricht ihrem Logarithmus. Legst du zwei solche Strecken aneinander, addierst du zwei Logarithmen – und das Ende zeigt das Produkt.

Einen Rechenschieber aus Papier bauen

Du brauchst zwei Streifen festes Papier oder Karton, etwa 30 Zentimeter lang, ein Lineal und einen spitzen Bleistift. Auf beide Streifen trägst du dieselbe Skala auf: Die 1 steht am linken Rand, die 10 genau 25 Zentimeter weiter rechts. Die übrigen Zahlen stehen an den Stellen aus der Tabelle; sie sind der Zehnerlogarithmus der Zahl mal 25 Zentimeter. Beide Skalen müssen exakt gleich sein, lege die Streifen beim Markieren nebeneinander.

Ohne Logarithmentafel kannst du die Stellen selbst herleiten. 2 hoch 10 ist 1.024, also fast 1.000, darum liegt die 2 bei gut drei Zehnteln der Strecke, bei 7,5 Zentimetern. Die 4 liegt beim Doppelten, die 8 beim Dreifachen dieses Abstands. Die 5 ist 10 geteilt durch 2, also 25 minus 7,5 Zentimeter. 3 hoch 4 ist 81, fast 80, daraus folgt die 3; 7 mal 7 ist 49, fast 50, daraus die 7. Die 6 liegt bei der Summe der Abstände von 2 und 3, die 9 beim Doppelten der 3. So triffst du die genauen Werte der Tabelle auf ein bis zwei Millimeter.

So rechnest du 2 mal 3: Schiebe den oberen Streifen so, dass seine 1 über der 2 des unteren steht. Suche auf dem oberen Streifen die 3 – darunter liest du auf dem unteren die 6 ab. Zum Teilen gehst du umgekehrt vor: Die 3 des oberen Streifens über die 6 des unteren, dann zeigt die 1 des oberen auf das Ergebnis 2. Läuft ein Ergebnis über die 10 hinaus, setze statt der 1 die 10 des oberen Streifens an und nimm das Ergebnis mal 10.

Der Rechenschieber liefert nur die Ziffernfolge, nicht die Größenordnung. Ob 3,8 mal 21 nun 79,8 oder 798 ergibt, klärst du mit dem Überschlag. Ein Papierstreifen dieser Länge liefert erfahrungsgemäß etwa zwei bis drei verlässliche Stellen – für Mengen im Haushalt genügt das.

Abakus, Rechnen auf den Linien und die Probe

Noch älter als der Rechenschieber ist das Rechnen mit Steinen. Das Arithmeum der Universität Bonn beschreibt, dass schon in der Antike mit Rechensteinen auf Tafeln mit Liniensystem gerechnet wurde und dieses Verfahren in den Rechenstuben Mitteleuropas bis ins 17. Jahrhundert in Gebrauch war. Dazu kommen Rechenbretter wie der römische Abakus, der chinesische Suanpan, der japanische Soroban und das Schulrechenbrett, das auf den russischen Stschoty zurückgeht.

Ein einfaches Rechenbrett ist schnell gemacht: Linien für Einer, Zehner, Hunderter und Tausender auf ein Brett oder ins Erdreich, dazu Steine oder Bohnen. Zehn Steine auf einer Linie tauschst du gegen einen auf der nächsthöheren. Nach dem Arithmeum erleichtern solche Hilfsmittel das Erlernen der Grundrechenarten erstaunlich – gerade für Kinder.

Was auch immer du benutzt: Rechne wichtige Ergebnisse ein zweites Mal auf anderem Weg nach, mit Überschlag, Umkehrrechnung oder einer zweiten Person. Wie man Behauptungen und Ergebnisse grundsätzlich prüft, beschreibt der Artikel „Wie man prüft, ob etwas stimmt“.