Bogen, Gewölbe, Brücke: wie Last abgetragen wird

Druck, Zug, Biegung: drei Arten, belastet zu werden

Jedes Bauteil, das eine Last trägt, wird zusammengedrückt, auseinandergezogen oder gebogen. LEIFIphysik, das Physikportal des FWU Instituts für Film und Bild, beschreibt danach die Grundformen von Brücken: Bei der Bogenbrücke treten in erster Linie Druckkräfte auf. In den Seilen einer Hängebrücke wirken ausschließlich Zugkräfte, in ihren Pfeilern dagegen vor allem Druckkräfte. In der Balkenbrücke treten relativ hohe Zug- und Druckkräfte zugleich auf.

Deshalb stieß man laut LEIFI mit einfachen Baustoffen bei größeren Spannweiten schnell an Grenzen und fügte Zwischenpfeiler ein. Trotzdem ist die Balkenbrücke bis heute der verbreitetste Brückentyp – sie ist am einfachsten zu bauen.

Was beim Biegen passiert, kannst du selbst sehen: Nimm einen Streifen Schaumstoff oder einen dicken Radiergummi, zeichne an der Seite senkrechte Striche im gleichen Abstand und biege ihn durch. Auf der Innenseite der Biegung rücken die Striche zusammen, auf der Außenseite auseinander. Ein durchhängender Balken wird also oben gedrückt und unten gezogen – er muss beides aushalten.

Warum Stein nur Druck mag

Baustoffe halten Druck und Zug unterschiedlich gut aus. LEIFI nennt Beton als Beispiel: Zugfestigkeit 4, Druckfestigkeit 20 Newton pro Quadratmillimeter – auf Druck also rund fünfmal so belastbar wie auf Zug. Für Stahl stehen in derselben Tabelle 800 und 500. Natursteine wie Sandstein und Granit sind laut LEIFI relativ gering auf Zug, aber stark auf Druck belastbar.

Die Forscher Philippe Block, Matthew DeJong und John Ochsendorf vom Massachusetts Institute of Technology (MIT) rechnen Mauerwerk nach den Annahmen des Ingenieurs Jacques Heyman: Es hat keine Zugfestigkeit, hält beliebig viel Druck aus, und die Steine gleiten nicht gegeneinander. Die Spannungen in historischen Mauerwerksbauten liegen laut den Autoren typischerweise eine Größenordnung unter der Bruchspannung. Ob ein Steinbau steht, ist deshalb vor allem eine Frage von Form und Gleichgewicht.

Für dich heißt das: Stein legst du nicht als Balken über eine Lücke, wo seine Unterseite gezogen würde. Du setzt ihn so, dass er nur gedrückt wird – als Bogen.

Rundbogen, Spitzbogen, Keilstein

Ein Steinbogen besteht aus keilförmigen Steinen, den Keilsteinen. Ein Lehrblatt der Mathematikdidaktik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) erklärt das an einem Holzmodell: Weil die einzelnen Steine trapezförmig sind, kann keiner in die Mitte rutschen; der mittlere Schlussstein hält die Bogenform zusammen. Der Bogen trägt sich selbst und steht ohne Klebstoff oder Zement.

Die Last läuft durch den Bogen nach unten und nach außen. Bogenbrücken brauchen laut LEIFI deshalb Widerlager, die große waagerechte Kräfte aufnehmen – und diese Kräfte sind umso größer, je flacher der Bogen ist. Ein flacher Bogen schiebt also stärker gegen seine Füße als ein hoher.

Block, DeJong und Ochsendorf vergleichen einen Rund- und einen Spitzbogen mit gleichem Verhältnis von Dicke zu Radius, nämlich 18 Prozent, und nahezu gleichem Eigengewicht. Der kleinste mögliche Seitenschub beträgt beim Rundbogen 16 Prozent, beim Spitzbogen 14 Prozent des Eigengewichts. Insgesamt schiebt der Spitzbogen etwa 15 Prozent weniger zur Seite.

Die hängende Kette: Hookes Umkehrprinzip

Der englische Naturforscher Robert Hooke entdeckte 1675 laut Block, DeJong und Ochsendorf die richtige Form für Bögen. Er schrieb sie als lateinisches Anagramm nieder; aufgelöst heißt es sinngemäß: Wie das biegsame Seil hängt, so steht umgekehrt der starre Bogen. Eine Kette unter ihrem eigenen Gewicht bildet eine Kettenlinie und steht nur unter Zug. Umgedreht ergibt dieselbe Form einen Bogen, der nur unter Druck steht – die Kräfte sind einfach umgekehrt.

Die Linie, auf der die Druckkräfte durch den Bogen laufen, heißt Stützlinie. Nach den Autoren gilt: Lässt sich eine solche Linie finden, die überall innerhalb des Mauerwerks liegt, ist der Bogen für diese Last sicher. Der Bogen muss also nicht exakt die Kettenform haben – er muss dick genug sein, dass die Stützlinie in ihm Platz findet.

Poleni nutzte das Prinzip 1748 an einem echten Bau, der gerissenen Kuppel des Petersdoms in Rom. Er teilte die Kuppel in Scheiben, hängte 32 ungleiche Gewichte entsprechend den Abschnitten an eine Kette und zeigte, dass die Kette in den Querschnitt passte – die Kuppel war sicher. Gewölbe und Kuppeln tragen nach demselben Prinzip wie der Bogen: Sie stehen, solange die Druckkräfte im Mauerwerk bleiben.

Lehrgerüst und Widerlager: wie ein Bogen entsteht und wie er fällt

Ein halb fertiger Bogen trägt nichts. LEIFI schreibt, dass die Statik einer Bogenbrücke erst funktioniert, wenn alle Steine zwischen den Widerlagern eingepasst sind; während des Baus sind erhebliche Stützkonstruktionen nötig. Diese Stütze heißt Lehrgerüst: ein Gerüst, dessen Oberkante die Form der Bogenunterseite hat. Die Steine werden von beiden Seiten gleichmäßig aufgesetzt, der Schlussstein kommt zuletzt. Erst dann wird das Gerüst abgesenkt.

Wie Bögen versagen, beschreiben Block, DeJong und Ochsendorf: Mauerwerksbögen stürzen häufig ein, weil sich ihre Auflager stark bewegen – durch Setzungen im Boden oder sich neigende Stützpfeiler. Weichen die Widerlager auseinander, reißt der Bogen an Stellen, die wie Gelenke wirken. Mit drei Gelenken steht er noch; bei mehr als drei stürzt er ein. Beim Auseinanderweichen wird der Bogen außerdem flacher, und der Seitenschub wächst.

Modellversuch: ein Bogen aus Pappe und Klötzen

Mit diesem Versuch siehst du alles, was oben steht, auf dem Küchentisch. Du brauchst eine feine Kette, zwei Reißzwecken, festen Karton, Bleistift, ein Messer, Material für die Klötze – Holz, Hartschaum oder mehrere zusammengeklebte Lagen Pappe – und einige Bücher.

• Hänge die Kette mit den Reißzwecken an eine senkrechte Pappe, sodass sie frei durchhängt, und zeichne ihre Linie nach.
• Übertrage die Linie auf Karton und dreh sie auf den Kopf: Das ist die Stützlinie deines Bogens für sein Eigengewicht.
• Zeichne ober- und unterhalb der Linie im gleichen Abstand je eine zweite Linie – das ist die Dicke des Bogens.
• Teile den Bogen in eine ungerade Zahl von Stücken, damit ein Schlussstein in die Mitte fällt. Zeichne die Fugen quer zur Linie; so wird jedes Stück ein Keil.
• Übertrage die Stücke auf das Klotzmaterial und schneide sie sauber aus.
• Schneide aus Karton ein Lehrgerüst in der Form der Bogenunterseite und stelle es auf zwei gleich hohe Bücherstapel.
• Stelle schwere Bücher als Widerlager an beide Bogenenden. Setze die Keile von beiden Seiten gleichmäßig auf, den Schlussstein zuletzt.
• Ziehe die Bücher unter dem Gerüst einzeln heraus, sodass es langsam absinkt. Der Bogen steht jetzt allein.
• Drücke leicht auf den Schlussstein. Dann schiebe ein Widerlager langsam nach außen und beobachte, wo sich Fugen öffnen – das sind die Gelenke.

Alte Brücken: was die Denkmalpflege zeigt

Dass wir heute noch Brücken aus römischer Zeit sehen können, erklärt LEIFI mit dem Material: Anders als Holz hat Stein eine hohe Lebensdauer. Ein Beispiel ist der Pont du Gard in Südfrankreich, eine Aquäduktbrücke der frühen römischen Kaiserzeit. Nach der UNESCO ist sie knapp 49 Meter hoch. Die Bögen der unteren Stockwerke bestehen aus Keilsteinen, in die Markierungen für ihre Lage im Bogen eingraviert sind; der Steinbruch liegt rund 600 Meter entfernt. Der Hauptbogen über dem Fluss ist mit 24,52 Metern weiter als die äußeren Bögen mit 21,87 Metern, damit Hochwasser besser abfließt.

Die Brücke zeigt auch, wie man ein Bauwerk gefährdet. Im Mittelalter wurden für einen Weg die Pfeiler des zweiten Stockwerks zur Hälfte ihrer Dicke abgetragen – laut UNESCO bedrohte das die Standsicherheit. 1699 bis 1702 wurden die Pfeiler repariert. Seit 1840 steht der Pont du Gard unter Denkmalschutz, jede Arbeit daran braucht eine Genehmigung. Die Lehre für jedes alte Bauwerk: Nimm nie Steine aus einem tragenden Bogen oder Pfeiler.

Über den Bach: Balken und Seil

Für einen schmalen Bach ist der einfachste Übergang ein Balken, der auf beiden Ufern aufliegt. LEIFI nennt neben den Balkenbrücken kleine Hängebrücken als die in der Frühzeit verbreitetsten Formen. Der Balken biegt sich, wird oben gedrückt und unten gezogen. Wie viel ein Stamm trägt, hängt von Holzart, Zustand, Durchmesser und Spannweite ab; eine allgemeingültige Zahl gibt es nicht, und dieser Artikel nennt keine.

Bei der Hängebrücke tragen Seile nur auf Zug, die Pfeiler, an denen sie hängen, werden gedrückt. LEIFI weist auf eine Schwäche hin: Hängebrücken sind nicht starr, ungünstiger Wind kann sie in Schwingungen versetzen, die sie zerstören – wie 1940 an der Tacoma-Brücke. Grundsätze für einen einfachen Übergang, abgeleitet aus dem Prinzip:

• Auflager auf festem Grund suchen, nicht auf unterspültem oder lockerem Ufer.
• Den Balken weit genug auf beide Ufer legen, damit er beim Durchbiegen nicht abrutscht.
• Nur gesundes Holz nehmen, nichts Morsches oder Angefaultes.
• Seile an beiden Enden an unverrückbaren Punkten verankern – sie ziehen mit der ganzen Last.
• Einen Übergang erst betreten, wenn seine Tragfähigkeit geprüft ist, und dann einzeln.